Distribuição Normal

1. Distribuição normal

Uma variável aleatória contínua apresenta distribuição normal se preenche a função f(x):

displaystyle  f(x) = frac 1{sigmasqrt{2pi}}mathrm{e}^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}, quad -infty < x < infty

A média mu e a variância sigma^2 são os dois parâmetros da mais importantes da distribuição normal.

2.Propriedades da distribuição normal

  1. Ela é simétrica.
  2. Tem forma de sino.
  3. Está definida de -infty a +infty, com caudas bilaterias ao eixo x.
  4. Me = Mo = Md
    5.Possui dois paraámetros sigma^2 e mu
Figura 1: Histograma com curva de densidade
 x <- rnorm(100)
 h <- hist(x, plot=F)
 ylim <- range(0, h$density, dnorm(0))
 hist(x, freq=F, ylim=ylim, main="Histograma com curva de densidade", col=2:7)
 curve(dnorm(x), add=T)
 

3. Distribuição normal padronizada

A distribuição normal padronizada apresenta como características principais a média igual a zero e o desvio-padráo igual a 1. Qualquer distribuição pode ser transformada em uma normal padrão.

Figura 2: Curva de Distribuição Normal
curve(dnorm(x),-3,3)    #desenha uma curva de distrib normal em [-3,3]
Figura 3: Porcentagem da área total sob a curva normal.

4. Escore Z

O escore z é uma medida para se calcular o desvio-padrão tendo como referência a distribuição normal padronizada. O cálculo é dado pela fórmula:

Z = frac{x - mu}{sigma}

onde: x = valor do desvio a ser calculado

           mu = média de uma distribuição

            sigma = desvio-padrão de uma distribuição

             z = escore padronizado

Para calcular a probabilidade de um evento na distribuição padronizada, podemos consultar uma tabela:

Figura 4: Tabela z da normal padronizada

Para utilizar a tabela de probabilidade do escore Z utilizamos o seguinte procedimento. Na margem esquerda há o valor de z com uma decimal e, se for necessário considerar a segunda decimal, deve-se procurá-la na linha superior. Por exemplo, para se obter a probabilidade de z entre 0 e 1,87, procuramos a célula cuja linha é 1,8 e coluna 0,07. O resultado é o valor 0,4693 ou 46,93%.
No R podemos encontrar o mesmo resultado, veja:

#O comando pnorm (z) realizao calculo da probabilidade
pnorm(1.87)-0.5
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